二进制表示与数制转换

本文整理二进制表示、数制转换以及原码/反码/补码/移码的核心知识点。

1. 数制基础#

1.1 常用数制#

数制	基数	数码	示例
二进制	2	0, 1	1101
八进制	8	0-7	15
十进制	10	0-9	13
十六进制	16	0-9, A-F	D

1.2 数制转换#

十进制 → 二进制（除2取余法）#

对整数部分除2取余，逆序排列：

十进制转二进制

示例：256 转二进制

除法	商	余数
256 ÷ 2	128	0
128 ÷ 2	64	0
64 ÷ 2	32	0
32 ÷ 2	16	0
16 ÷ 2	8	0
8 ÷ 2	4	0
4 ÷ 2	2	0
2 ÷ 2	1	0
1 ÷ 2	0	1

结果：100000000

二进制 → 十进制（按权展开）#

将每一位乘以 2 的对应次幂，求和。

示例：

二进制	计算	十进制
0	0	0
11101100	128+64+32+8+4	236
11111111	128+64+32+16+8+4+2+1	255

二进制 ↔ 八进制（三位一组）#

数制转换规则

规则：

二进制 → 八进制：从右往左每三位一组，转为一位八进制，不足三位左边补零
八进制 → 二进制：每一位八进制转为三位二进制

示例：1110 0101 1101 转八进制

1
分组：111 001 011 101
2
转八进制：7  1  3  5
3
结果：7135

二进制 ↔ 十六进制（四位一组）#

规则：

二进制 → 十六进制：从右往左每四位一组，转为一位十六进制
十六进制 → 二进制：每一位十六进制转为四位二进制

示例：1110 0101 1101 转十六进制

1
分组：1110 0101 1101
2
转十六进制：E  5  D
3
结果：E5D

数制转换示例

2. 原码、反码、补码#

2.1 原码#

定义：最高位为符号位（0正1负），其余位为数值位。

示例（8位）：

十进制	原码
+1	00000001
-1	10000001
+127	01111111
-127	11111111

2.2 反码#

定义：

正数：与原码相同
负数：符号位不变，数值位按位取反

示例：

十进制	原码	反码
+1	00000001	00000001
-1	10000001	11111110

2.3 补码#

定义：

正数：与原码相同
负数：反码 + 1

示例：

十进制	原码	反码	补码
+1	00000001	00000001	00000001
-1	10000001	11111110	11111111

为什么计算机用补码？

加减法统一处理，无需区分符号
0 的表示唯一（原码有 +0 和 -0 两种）

2.4 移码#

定义：补码的符号位取反。

用途：浮点数的阶码表示。

2.5 对比表格#

原反补移码对比

编码	+0	-0	范围（8位）
原码	00000000	10000000	-127 ~ +127
反码	00000000	11111111	-127 ~ +127
补码	00000000	00000000（唯一）	-128 ~ +127
移码	10000000	10000000（唯一）	-127 ~ +128

3. 定点数表示#

3.1 定点整数#

小数点固定在最低位之后，表示整数。

3.2 定点小数#

小数点固定在符号位之后，表示纯小数。

定点小数习题

习题：已知 x = -53/64，用 8 位定点机器码表示原码。

解析：

计算 -53/64 的二进制：
- 53 = 32 + 16 + 4 + 1 = 110101
- 53/64 = 0.110101（二进制）
- -53/64 = -0.110101
8 位定点小数原码：
- 符号位：1（负数）
- 数值位：11010100（补零到 7 位）
- 结果：1.11010100

答案：A（1.11010100）

4. 总结#

数制转换速查#

转换	方法
十进制 → 二进制	除2取余，逆序排列
二进制 → 十进制	按权展开求和
二进制 → 八进制	三位一组
二进制 → 十六进制	四位一组

原反补移码对比#

编码	正数	负数
原码	不变	符号位+数值位
反码	不变	符号位不变，数值位取反
补码	不变	反码+1
移码	补码符号位取反	补码符号位取反

关键点：

计算机内部使用补码存储整数
0 的补码表示唯一
定点小数原码要注意小数点位置